16.(本小題滿分8分)設f(x)是一次函數，f(8)=15,且f(2),f(5),f(4)成等比數列，求.

分析 本題爲函數、數列、極限的一道綜合題.解題關鍵是先利用待定系數法確定f(x)的解析式，再求f(1)+f(2)+…+f(n),然後利用極限的運算法則求極限.

解 設f(x)=kx+b,

由條件，得8k+b=15,∴b=15-8k.

∵f (2), f (5), f (4)成等比數列,

∴(5k+b)²=(2k+b)(4k+b). 　　　2分

把b=15-8k代入，

得(15-3k)²=(15-6k)(15-4k).

解得k=4,k=0(舍),b=-17.

∴f(x)=4x-17.　　　 4分

∴f(1)+f(2)+…+f(n)

=(4×1-17)+(4×2-17)+…+(4×n-17)

=4×(1+2+…+n)-17n

=4·-17n=2n²-15n.　　 6分

∴

=　　　8分

15.(本小題滿分8分)平面內有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,並且每三個圓都不相交于同一點,求證:n個圓把平面分成f(n)=n²-n+2個部分.

分析 本題的關鍵在于如何應用歸納假設及已知條件分析當n=k+1時,第k+1個圓與其他k個圓的交點個數,做到有目的的變形.

證明 (1)當n=1時,一個圓把平面分成兩部分,又1²-1+2=2,故命題成立.

(2)假設n=k(k∈N*)時,命題成立,即滿足題設條件的k個圓把平面分成f(k)=k²-k+2個部分.2分

那麽當n=k+1時,設第k+1個圓爲⊙O,由題意,它與k個圓中每個圓交于兩點,又無三個圓交于同一點,于是它與其他k個圓交于2k個點,這些點把⊙O分成2k條弧,即f(k+1)=f(k)+2k=k²-k+2+2k=(k+1)²-(k+1)+2.　　 6分

這就是說,當n=k+1時,命題也成立.

綜上可知,對一切n∈N*,命題都成立.　　 8分

14.已知,則a的值爲　　　　　 .

分析　本題考查f(x)的極限.因爲把x=x₀代入分式的分子,分子不爲0.又因爲f(x)存在,所以把x=x₀代入分母,分母必不爲0.故采用直接代入法即可求極限.

解 ∵

答案

13.★設函數在x=0處連續,則實數a的值爲　　　　　 .

分析 本題考查函數的極限及函數f(x)在點x₀處連續的定義.

解 ∵函數f(x)在點x₀處連續,

又∵f(0)=a,∴a=.

答案

12.()=　　　　　　　　　 .

分析 本題考查數列極限的運算.此題屬于“∞-∞”型,應先分子有理化,再求極限.

解 (n-n+1)==

答案 0

11.用數學歸納法證明,假設n=k時,不等式成立,則當n=k+1時,應推證的目標不等式是　　　　　　　 .

解析 因爲自變量取n時,不等式的左邊爲n項和的形式,所以當n=k+1時應爲k+1項的和,它們是,右邊只需把n=k+1代入即可,它們是,故應推證的不等式是

答案

10. 則a的取值範圍是(　　 )

A.a=1　　　　　　　　　　　　 B.a＜-1或a＞

C.-1＜a＜　　　　　　　　　　 D.a＜-或a＞1

分析 本題考查極限qⁿ=0,|q|＜1.要求a的範圍,可列a的不等式,要注意分式不等式的解法.

解法一 ∵()ⁿ=0,∴||＜1

∴a＜-1或a＞.

解法二 本題可利用特殊值代入法,當a=1時成立,排除C、D.再令a=,∵()ⁿ=0成立,∴排除A.

答案 B

第Ⅱ卷(非選擇題共60分)

9.★用數學歸納法證明命題“n³+(n+1)³+(n+2)³(n∈N)能被9整除”,要利用歸納假設證n=k+1時的情況,只需展開(　　)

A.(k+3)³　　　　　B.(k+2)³

C.(k+1)³D.(k+1)³+(k+2)³

分析　本題考查用數學歸納法證明整除性問題.只需把n=k+1時的情況拼湊成一部分爲假設的形式,另一部分爲除數的倍數形式即可.

解　當n=k+1時,被除數爲(k+1)³+(k+2)³+(k+3)³=k³+(k+1)³+(k+2)³+9(k²+3k+3).故只需展開(k+3)³即可.

答案　A

8.★欲用數學歸納法證明對于足夠大的自然數n,總有2_n>n³,n₀爲驗證的第一個值,則(　　 )

A.n₀=1

B.n₀爲大于1小于10的某個整數

C.n₀≥10

D.n₀=2

解析 本題考查用數學歸納法證明問題時,第一步初始值n₀的確定.不能認爲初始值都從n₀=1開始,需根據實際題目而定.當1≤n＜10時,2ⁿ與n³的大小不確定,而當n≥10時,總有2ⁿ>n³.

答案 C

7.★已知數列{a_n}是由正數組成的數列,a₁=3,且滿足lga_n=lga_n-1+lgc,其中n>1且爲整數,c>2,則等于(　　 )

A.-1　　　　　 B.1　　　　 C.　　　　 D.

分析 本題考查數列的極限及運算能力.

解 ∵a_n>0,lga_n=lga_n-1+lgc,

∴a_n=a_n-1·c,=c,

即數列{a_n}是首項爲a₁=3,公比爲c的等比數列,a_n=3·c^n-1(c>2),

答案 A