【題目】如圖，在等腰直角中，，是線段上一動點(與點、不重合)，連結，延長至點，，過點作于點，交于點.

(1)若，求的大小(用含的式子表示)；

(2)用等式表示與之間的數量關系，並加以證明.

【題目】如圖，物理教師爲同學們演示單擺運動，單擺左右擺動中，在的位置時俯角，在的位置時俯角，若，點比點高7．

求：（1）單擺的長度；

（2）從點擺動到點經過的路徑長．（要求：本題中的計算結果均保留整數．參考值：；）

（1）求AD的長；

（2）求點E到AB的距離.（參考數據：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）

【題目】如圖1，2分別是某款籃球架的實物圖與示意圖，已知底座BC=0.60米，底座BC與支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的長爲2.50米，籃板頂端F點到籃框D的距離FD=1.35米，籃板底部支架HE與支架AF所成的角∠FHE=60°，求籃框D到地面的距離（精確到0.01米）（參考數據：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.732，≈1.414）

【題目】將正方形的邊繞點逆時針旋轉至 ，記旋轉角爲．連接，過點作垂直于直線，垂足爲點，連接，

如圖1，當時，的形狀爲 ，連接，可求出的值爲 ；

當且時，

①中的兩個結論是否仍然成立?如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；

②當以點爲頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出的值．

如圖，點是弧上一動點，線段點是線段的中點，過點作，交的延長線于點．當爲等腰三角形時，求線段的長度．

小亮分析發現，此問題很難通過常規的推理計算徹底解決，于是嘗試結合學習函數的經驗研究此問題，請將下面的探究過程補充完整：

根據點在弧上的不同位置，畫出相應的圖形，測量線段的長度，得到下表的幾組對應值．

操作中發現：

①"當點爲弧的中點時， "．則上中的值是

②"線段的長度無需測量即可得到"．請簡要說明理由；

將線段的長度作爲自變量和的長度都是的函數，分別記爲和，並在平面直角坐標系中畫出了函數的圖象，如圖所示．請在同一坐標系中畫出函數的圖象；

繼續在同一坐標系中畫出所需的函數圖象，並結合圖象直接寫出：當爲等腰三角形時，線段長度的近似值．(結果保留一位小數)．

【題目】如圖，抛物線與軸正半軸，軸正半軸分別交于點，且點爲抛物線的頂點．

求抛物線的解析式及點G的坐標；

點爲抛物線上兩點(點在點的左側) ，且到對稱軸的距離分別爲個單位長度和個單位長度，點爲抛物線上點之間(含點)的一個動點，求點的縱坐標的取值範圍．

【題目】我們學習過利用用尺規作圖平分一個任意角，而“利用尺規作圖三等分一個任意角”曾是數學史上一大難題，之後被數學家證明是不可能完成的，人們根據實際需要，發明了一種簡易操作工具--------三分角器．圖1是它的示意圖，其中與半圓的直徑在同一直線 上，且的長度與半圓的半徑相等；與重直于點 足夠長．

使用方法如圖2所示，若要把三等分，只需適當放置三分角器，使經過的頂點，點落在邊上，半圓與另一邊恰好相切，切點爲，則就把三等分了．

爲了說明這一方法的正確性，需要對其進行證明．如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補充完整，並寫出“證明”過程．

已知：如圖2，點在同一直線上，垂足爲點，

求證：

方案一：購買一張學生暑期專享卡，每次健身費用按六折優惠；

方案二：不購買學生暑期專享卡，每次健身費用按八折優惠；

設某學生暑期健身(次)，按照方案一所需費用爲，(元)，且；按照方案二所需費用爲(元) ，且其函數圖象如圖所示．

求和的值，並說明它們的實際意義；

求打折前的每次健身費用和的值；

八年級學生小華計劃暑期前往該俱樂部健身次，應選擇哪種方案所需費用更少?說明理由．